Угловая скорость
Считая, что орбиты планет круговые, можно ввести понятие, как уголовая скорость. Угловая скорость планеты вокруг Солнца $\omega$ показывает, на какой гелиоцентрический угол изменится эклиптическая долгота планеты за единицу времени.
$$
\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \sqrt{\frac{GM}{4 \pi^2 R^3}} =\sqrt{\frac{GM}{R^3}} = \frac{V_\tau}{R} = \left[ \frac{\text{рад}}{\text{c}} \right] \text{,}
$$
где $T$ — сидерический период обращения планеты вокруг Солнца; $V_\tau$ — тангенциальная составляющая орбитальной скорости планеты; $R$ — радиус-вектор планеты, для приближения круговых орбит $R = a$.
Аналогично, для относительной или наблюдаемой угловой скорости выполняется следующая зависимость, что
$$
\omega_\text{отн} = \frac{V_\tau}{r} \text{,}
$$
где $V_\tau$ — относительная тангенциальная скорость; $r$ — расстояние до объекта от наблюдателя.\par
Синодический период
Синодический период — промежуток времени межны последовательными одноименными конфигурациями. По сути синодический период — период, за который между эклиптическими долготами двух планет набитается полный оборот. Если планеты обращаются в разные стороны вокруг Солнца, тогда относительная угловая скорость
$$\omega = \omega_1 + \omega_2$$
$$\frac{2\pi}{S} = \frac{2\pi}{T_1} + \frac{2 \pi}{T_2}$$
$$\frac{1}{S} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$$
Если же планеты обращаются в одну и туже сторону вокруг Солнца, тогда
$$\omega = | \omega_1 — \omega_2 | $$
$$\frac{2\pi}{S} = \left| \frac{2\pi}{T_1} — \frac{2 \pi}{T_2} \right|$$
$$\frac{1}{S} = \left| \frac{1}{T_1} — \frac{1}{T_2} \right|$$
Справочные данные
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Планета & Меркурий & Венера & Земля & Марс & Юпитер & Сатурн & Уран & Нептун & Плутон \\
\hline
Бол. п-сь, а.е. & 0.39 & 0.72 & 1.00 & 1.52 & 5.20 & 9.54 & 19.2 & 30.1 & 39.5 \\
\hline
Эксцен-т & 0.206 & 0.007 & 0.017 & 0.093 & 0.049 & 0.056 & 0.044 & 0.011 & 0.249\\
\hline
Радиус, $10^3$ км & 2.44 & 6.05 & 6.38 & 3.39 & 69.9 & 58.2 & 25.4 & 24.6 & 1.19\\
\hline
\end{tabular}
Задачи
- Как часто могут наблюдаться с Земли одновременные прохождения Меркурия и Венеры по диску Солнца? Считать, что все орбиты лежат в одной плоскости.
- Комета движется по параболической орбите и в момент противостояния с Землей оказывается в перигелии орбиты. В этот момент угловые скорости кометы и Земли при наблюдении с Солнца совпали. Определить расстояние между кометой и Землей.
- Синодический период внешней планеты равен 2 года. Определить ее угловую скорость в момент соединения.
- Найдите максимальное время между двумя последовательными элонгациями Меркурия. Орбиту Меркурия считать круговой.
- Определите период обращения Земли вокруг своей оси, чтобы жители Земли могли каждый день в одно и то же время могли наблюдать нижнее соединение Меркурия.
- {Определите эксцентриситет орбиты спутника, если в момент нижнего соединения его угловая скорость в 5 раз превышает угловую скорость Солнца. Считать, что большая полуось спутника равна большой полуоси Земли. А нижнее соединение совпадает с прохождением перегелия.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{Д.~Долгов}
\end{flushright}
} - {Определите, как часто повторяется ближайшая встреча Эвереста и солнечного пятна экваторе? Орбиту Земли считать круговой. Период осевого обращения Солнца на экваторе $T_\odot = 25.05 \text{сут}$.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{Д.~Долгов}
\end{flushright}
} - {Определите максимально возможную продолжительность прохождения Юпитера по диску Солнца для наблюдателя на Сатурне.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{A.~Шепелев}
\end{flushright}
} - {Как часто наблюдаются соединения Сатурна при наблюдении с Урана?\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{A.~Шепелев}
\end{flushright}
} - {Синодический период некоторой планеты составляет 3 года. Определите наименьший промежуток времени между моментами, когда элонгация планеты составлет $60^\circ$.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{A.~Шепелев}
\end{flushright}
} - {22 июня Меркурий наблюдается в западной элонгации, в каком созвездии будет располагаться Меркурий в момент ближайшего прохождения по диску Солнца? Считать, что прохождения случаются каждое нижнее соединение.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{A.~Шепелев}
\end{flushright}
} - {Во сколько раз отличается угловая скорость Луны для наблюдателя на экваторе, когда она в зените и надире? Орбиту Луны считать круговой.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{A.~Шепелев}
\end{flushright}
} - {Некий аппарат другой цивилизации летит сквозь Солнечную систему ровно по прямой точно в плоскости эклиптики с постоянной скоростью. Причем момент прохождения перегелия совпадает с противостоянием аппарата при наблюдении с Марса, откуда Земля наблюдается в восточной элонгации. Также стоит заметить, что противостояние спутника наблюдалось с Марса в созвездии Овна, и спутник двигался с угловой скоростью $\omega = 3 \times 10^{-8} \text{ с}^{-1}$ в сторону увеличения прямого восхождения, а его горизонтальный паралакс, который измерили марсиане $p = 1»$. Определите, в каком созвездии будет наблюдаться аппарат с Земли в момент ближайшего противостояния.\\[-2pc]
\begin{flushright}
\textit{A.~Шепелев}
\end{flushright}
}